После того, как он найдет правильный пароль, он продолжит проходить через List_information после вызова game ().Вызов game () не остановит зацикливание, и поэтому он найдет следующего пользователя из List_information и скажет, что пароль был неправильным.
Вы должны найти правильную запись из List_information (основанной на имени пользователя) и проверьте пароль к этой записи.Теперь вы сравниваете только первый элемент в List_information.
Примерно так:
user = None
for x in List_information:
if x[0] == Username_input:
user = x
if user == None:
print("Username not found please register ")
register ()
else:
Password_Input = input("Username found please enter your password : ")
if user[1] == Password_input:
game()
else:
Menu()