Если вы удалите внутренние списки из каждого элемента в list_A, вы можете сравнить элементы непосредственно со list_B:
list_A = [['A',[1],'a'], ['B',[2],'b'], ['C',[3],'c'], ['D',[4],'d'],
['E',[5],'e'], ['F',[6],'f']]
list_B = [['A','a'],['D','d'],['E','e']]
new_A = ([a, b] for a, _, b in list_A)
common = [i for i, x in enumerate(new_A) if x in list_B]
Если вы уверены, что каждый элемент list_B присутствует уникально, то следующеетоже работает:
new_A = [[a, b] for a, _, b in list_A]
common = [new_A.index(x) for x in list_B]