Вы не сказали так, но я собираюсь предположить, что вы применили фиксированную высоту здесь, так как я не могу придумать какой-либо другой способ получить этот эффект.
Проблема здесь не в переполнении, а в высоте. IE, к сожалению, рассматривает высоту как минимальная высота, поэтому он расширяет текстовое поле, если вы позволите (с переполнением: видимым, например).
Получение эффекта IE в Firefox тривиально - вы можете просто применить минимальную высоту вместо высоты, но я не верю, что есть способ напрямую воспроизвести эффект Firefox в IE: он просто не такой гибкий. Однако , я могу придумать способ обмануть эффект, если он чисто графический, используя фоновое изображение с repeat-x только для того, чтобы нарисовать линию там, где вы можете этого захотеть. Если вы, вероятно, не пытаетесь вставить дополнительную наценку, это никогда не получается.