«Превышено время ожидания в ожидании доступного хоста» - это, безусловно, проблема с подключением между вашим клиентом и БД.Существует множество ответов об отладке соединения с Нептуном, пожалуйста, попробуйте их.Для начала, можете ли вы попробовать следующее с вашей клиентской машины?
telnet <db-endpoint> <db-port>
Скорее всего, вы увидите, что он ожидает установления соединения, что подтверждает эту гипотезу.
Как правило, установить соединение с сервером довольно быстро.Единственное время ожидания, о котором вам нужно беспокоиться, - это время ожидания запроса, и у Нептуна для этого есть запись группы параметров.
https://docs.aws.amazon.com/neptune/latest/userguide/parameters.html