Путаница в понимании горизонтального состава природных трансформаций

Question

Я сейчас читаю Теорию категорий для программистов Бартоша Милевски.В главе о естественном преобразовании я нашел следующий абзац:

Давайте сосредоточимся на двух объектах ??? - категориях ? и ?.Существует множество естественных преобразований, которые идут между функторами, соединяющими ? с ?.Эти естественные преобразования - наши новые стрелки от ? до ?.Точно так же между функторами, соединяющими ? с ?, происходят естественные преобразования, которые мы можем рассматривать как новые стрелки, идущие от ? к ?.Горизонтальная композиция - это композиция этих стрелок.

Может ли кто-нибудь объяснить, как естественное преобразование между функторами, соединяющими категории C и D, внезапно стало стрелами, соединяющими C и D, что снова сделало бы его функтором?

Answer 1

Так получилось, что Cat имеет больше структуры, чем очевидная: категория с категориями в качестве объектов и функторами в качестве морфизмов.Существует второй слой, в котором мы объединяем все естественные преобразования между всеми парами функторов из C в D и называем его гом-множеством из C в D. Мы определяем композицию между этими гом-множествами в терминах горизонтальной композиции естественных преобразований.,Обратите внимание, что эти новые гом-множества отличаются от старых гом-множеств, которые являются множествами функторов.