здесь:
cout << "The sum of the " << numint << " intervals is: [" << a << "," << b << ]";
вы не добавляете значения, а просто печатаете их
вместо этого используете некоторую переменную аккумулятора и выполняете математические операции перед ее печатью, например:
int main()
{
int numint,sum,a,b,ctr;
int result = 0;
cout << "Enter the number of intervals: ";
cin >> numint;
ctr=0;
while (ctr!=numint)
{
cout << "Enter the lower and upper bounds of the interval: ";
cin >> a;
cin >> b;
ctr++;
}
result = a + b ;
cout << "The sum of the " << numint << " is: " << result;
return 0;
}