Изменяя запрос, чтобы он возвращал данные с нужными именами столбцов, а затем, используя json_encode для форматирования результатов, вы можете немного упростить код.
<script type="text/javascript">
$(document).ready(function() {
// page is now ready, initialize the calendar...
$('#calendar').fullCalendar({
events: [
<?php
$sql = "SELECT `nome` as `title`, `data` as `start` FROM eventi";
$eventi = $mysqli->query($sql);
$allrows = $eventi->fetch_all(MYSQLI_ASSOC);
$rslt = json_encode($allrows);
echo $rslt;
?>
]
});
});
</script>