Вы используете document.getElementById(...)
.При использовании shadowRoot вы должны использовать:
this.shadowRoot.getElementById(...)
Таким образом, для монтирования idealBank вы можете использовать:
// Add an instance of the idealBank Element into the `ideal-bank-element` <div>.
const bankElement = this.shadowRoot.querySelector('#ideal-bank-element');
idealBank.mount(bankElement);
Библиотека stripe.js может работать или может не работать с shadowRoot.Если в библиотеке используется document.getElementById или какая-либо другая конструкция корневого документа, это может привести к сбою.