Я проверил ваш код, и он работал хорошо, я предлагаю проверить URL еще раз
Хорошая работа для обнаружения ошибок - добавление console.log () к успешной части, например:
url: "update.php", //check it
success: function(result) {
console.log(result);
// or you can do this instead of console.log(result)
// alert(result)
}
, а также укажите это состояние в своем php-коде:
<?php
print_r($_POST);
?>
, затем, нажав на кнопку, вы сможете увидеть результат на консоли браузера