Документация AWS для C # очень хорошая.Вот статья , в частности, о ведении журнала .
По сути, если коротко, то все, что записано в Standard Out или Standard Error, запишет в журналы, например, Console.WriteLine("Some text");
Кроме того, с лямбда-функциями контекст содержит статический регистратор, который можно использовать с context.Logger.Log("Write this to log");
. Я предлагаю уделить некоторое время чтению документации и работе с их примерами, которые также оченьхорошо.