Вам не нужно избегать двойной кавычки.Вам нужно экранировать \
, поэтому он должен быть '\ "', потому что это экранирующий символ для MySQL. Поэтому ваша команда должна быть:
UPDATE articles
SET body = REPLACE(body, '"', '\\"')
WHERE body LIKE '%"%'
Взгляните на документацию так что вы можете получить больше информации об этом.