Проблема в том, что вы явно добавляете ListBoxItem
в ListBox.
Вы, вероятно, хотели бы вместо этого определить ItemTemplate
:
<ListBox ItemsSource="{Binding}">
<ListBox.ItemTemplate>
<DataTemplate>
<TextBlock Text="{Binding Name}"/>
</DataTemplate>
</ListBox.ItemTemplate>
</ListBox>
Вам также следует рассмотреть возможность использования ObservableCollection вместо создания собственного класса коллекции:
private readonly ObservableCollection<Child> children = new ObservableCollection<Child>();
public MainWindow()
{
InitializeComponent();
DataContext = children;
}