О savind TextView.Text, я предлагаю вам узнать о Хранилище файлов и доступ с помощью Xamarin.Android
Если вы просто хотите сохранить данные во внутреннем хранилище, это пространство недоступны кроме операционной системы или приложений.Android выделит каталог во внутреннем разделе хранения для каждого приложения.При удалении приложения все файлы, хранящиеся во внутренней памяти в этом каталоге, также будут удалены.Внутреннее хранилище лучше всего подходит для файлов, которые доступны только приложению и которые не будут использоваться совместно с другими приложениями или будут иметь очень небольшое значение после удаления приложения.
Следующий код предназначен для сохранения и чтения файла во внутреннем хранилище.
btn.Click += delegate
{
fileName = Path.Combine(System.Environment.GetFolderPath(System.Environment.SpecialFolder.LocalApplicationData), "temp.txt");
File.WriteAllText(fileName,text.Text );
};
btn1.Click += delegate
{
var text = File.ReadAllText(fileName);
Console.WriteLine(text);
};