Я думаю, что проблема в этой строке path.join(__dirname, '../public/' + img)
__dirname
возврат каталога, в котором выполняется скрипт.В вашем случае, когда вы присоединяетесь к пути с помощью «../public», это может быть пропустить родительский каталог app.js и выбрать app.js
родительский каталог родителей.Поэтому используйте /public
вместо ../public
Попробуйте код ниже
const express = require('express');
const app = express();
const path = require('path');
//app.set('port', (process.env.PORT || 5000));
app.use(express.static('public'));
app.get('/', function(request, response) {
const today = new Date().getHours();
const img = today <= 13 ? 'image1.png' : 'image2.png';
console.log(__dirname);
console.log(path.join(__dirname, '/public', img))
response.sendFile(path.join(__dirname, '/public', img));
});