Механически, принятый ответ, конечно, правильный, но я бы сказал, что можно дать более глубокий ответ.
Во-первых, полезно уточнить вопрос, как @PeterCordes в комментарии: «Существует ли мультипликативная идентичность для комплексных чисел, которая работает на inf + 0j?» или, другими словами, то, что OP видит слабость в компьютерной реализации комплексного умножения, или есть что-то концептуально необоснованное с inf+0j
Краткий ответ:
Используя полярные координаты, мы можем рассматривать сложное умножение как масштабирование и вращение.Вращая бесконечную «руку» даже на 0 градусов, как в случае умножения на единицу, мы не можем ожидать, что ее наконечник будет с конечной точностью.Итак, действительно, с inf+0j что-то в корне неверно, а именно, что, как только мы находимся на бесконечности, конечное смещение теряет смысл.
Длинный ответ:
Справочная информация: "большойПредметом, вокруг которого вращается этот вопрос, является вопрос расширения системы чисел (думаю, вещественных или комплексных чисел).Одна из причин, по которой можно это сделать, - добавить некоторое понятие бесконечности или «компактифицировать», если кто-то оказывается математиком.Есть и другие причины (https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory, https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis),, но нас это не интересует.
Компактификация в одну точку
Хитрый момент с таким расширениемконечно, мы хотим, чтобы эти новые числа вписывались в существующую арифметику. Самый простой способ - добавить один элемент на бесконечности (https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandroff_extension) и сделать его равным всему, кроме нуля, деленного на ноль. Это работает длявещественные числа (https://en.wikipedia.org/wiki/Projectively_extended_real_line) и комплексные числа (https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere).
Другие расширения ...
). Хотя компактификация по одной точке проста и математически обоснована, «более богатые» расширения, включающиебыло запрошено несколько бесконечностей. Стандарт IEEE 754 для вещественных чисел с плавающей запятой имеет + inf и -inf (https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line). Выглядит естественно и просто, но уже заставляет нас прыгать через обручи и придумывать такие вещи, как -0 https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_zero
... комплексной плоскости
А как насчет расширений комплексной плоскости больше, чем один-inf?
В компьютерах комплексное числоrs обычно реализуются путем склеивания двух действительных чисел вместе одного для реального и одного для мнимой части.Это прекрасно, пока все конечно.Однако, как только считаются бесконечности, вещи становятся хитрыми.
Комплексная плоскость обладает естественной вращательной симметрией, которая хорошо сочетается со сложной арифметикой, поскольку умножение всей плоскости на e ^ phij аналогично phiвращение радиана вокруг 0.
Это приложение G вещь
Теперь, чтобы упростить задачу, сложный fp просто использует расширения (+/- inf, nan и т. д.) базового реальногореализация номера.Этот выбор может показаться настолько естественным, что даже не воспринимается как выбор, но давайте подробнее рассмотрим, что он подразумевает.Простая визуализация этого расширения комплексной плоскости выглядит следующим образом (I = бесконечность, f = конечная, 0 = 0)
I IIIIIIIII I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I IIIIIIIII I
Но, поскольку истинная комплексная плоскость - это та, которая учитывает сложное умножение, она более информативнапроекция была бы
III
I I
fffff
fffffff
fffffffff
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
fffffffff
fffffff
fffff
I I
III
В этой проекции мы видим «неравномерное распределение» бесконечностей, которое не только уродливо, но и корень проблем типа OP пострадали: большинство бесконечностей (тех из форм (+/- inf, конечный) и (конечный, +/- inf) объединены в четырех основных направлениях, все остальные направления представлены только четырьмя бесконечностями (+/- inf, + -inf).Удивительно, что распространение сложного умножения на эту геометрию - кошмар.
Приложение G спецификации C99 делает все возможное, чтобы заставить его работать, включая изменение правил взаимодействия inf и nan (по существу inf козыри nan).Проблема ОП обходится тем, что не продвигает реальные и предложенный чисто мнимый тип на сложный, но наличие действительного 1 ведет себя иначе, чем комплексное 1, не кажется мне решением.Что характерно, в Приложении G. не дается полное определение того, каким должно быть произведение двух бесконечностей.
Можем ли мы добиться большего успеха?
Соблазнительно попытаться решить эти проблемы, выбрав лучшую геометриюбесконечностей.По аналогии с расширенной реальной линией мы можем добавить одну бесконечность для каждого направления.Эта конструкция похожа на проективную плоскость, но не объединяет противоположные направления.Бесконечности будут представлены в полярных координатах inf xe ^ {2 omega pi i}, определение продуктов будет простым.В частности, проблема ОП была бы решена вполне естественно.
Но на этом хорошие новости заканчиваются.В некотором смысле мы можем быть отброшены к исходной точке, не безосновательно, требуя, чтобы наши бесконечности в новом стиле поддерживали функции, извлекающие их действительные или мнимые части.Дополнение является еще одной проблемой;добавив две неантиподальные бесконечности, мы должны установить угол на неопределенное значение, то есть nan (можно утверждать, что угол должен лежать между двумя входными углами, но не существует простого способа представления этой "частичной нанности")
Риман на помощь
С учетом всего этого, возможно, самое старое доброе компактификация - это самое безопасное.Возможно, авторы Приложения G чувствовали то же самое, когда предписывали функцию cproj, которая объединяет все бесконечности.
Вот связанный вопрос , на который ответили люди, более компетентные впредмет, чем я.