В итоге я решил эту проблему, изменив web.config:
<customErrors mode="Off" />
После этого изменения сообщение, ExceptionType и Stack trace стали заполняться правильно вместо стандартных «Произошла ошибка при обработке запроса«.который возвращается для всех исключений, когда mode = on, и не очень полезен для отладки или создания отчетов.
Хотелось бы, чтобы этот параметр был более детальным, чтобы я мог отключить его только для WebMethods.