Определение функции над классами эквивалентности Изабель - PullRequest
Новая
       15

Определение функции над классами эквивалентности Изабель

1 голос
/ 30 сентября 2019

Рассмотрим следующие определения в Изабель: 

definition "e_aff = {(x, y). e' x y = 0}"
definition "e_circ = {(x,y). x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ (x,y) ∈ e_aff}"
definition gluing :: "(((real × real) × bit) × ((real × real) × bit)) set" where
  "gluing = {(((x0,y0),l),((x1,y1),j)). 
               ((x0,y0) ∈ e_aff ∧ (x1,y1) ∈ e_aff) ∧
               (((x0,y0) ∈ e_circ ∧ (x1,y1) = τ (x0,y0) ∧ j = l+1) ∨
                ((x0,y0) ∈ e_aff ∧ x0 = x1 ∧ y0 = y1 ∧ l = j))}"
definition "Bits = range Bit"
definition e_aff_bit :: "((real × real) × bit) set" where
 "e_aff_bit = e_aff × Bits"
definition e_proj where "e_proj = e_aff_bit // gluing"

fun ρ :: "real × real ⇒ real × real" where 
  "ρ (x,y) = (-y,x)"
fun τ :: "real × real ⇒ real × real" where 
  "τ (x,y) = (1/(t*x),1/(t*y))"
definition symmetries where 
  "symmetries = {τ,τ ∘ ρ,τ ∘ ρ ∘ ρ,τ ∘ ρ ∘ ρ ∘ ρ}"

Я хочу определить действие группы симметрий на проективных точках базовой эллиптической кривой. Действие определяется следующим образом: 

τ [P,i] = [P,i+1]
ρ [P,i] = [ρ (P),i]

действие оставшихся симметрий можно вывести из правила: 

s1 ∘ s2 [P,i] = s2 (s1 [P,i]))

В нотации указано, как один элемент группы действует напредставитель класса.

Как я могу формализовать это в Изабель?

Вот связанный вопрос: Уточнение определения в Изабель

Издесь полный код: https://github.com/rjraya/Isabelle/blob/master/curves/Hales.thy

Первый вопрос: как трактовать симметрии как тип, поскольку они зависят от фиксированной переменной d.

1 Ответ

0 голосов
/ 30 сентября 2019

Возможным вариантом решения может быть использование индуктивного предиката. Приведенное ниже определение является просто шаблоном / идеей: я не проверял, что это действительно то определение, которое вы пытаетесь получить. 

inductive φ where
    "φ τ s (the_elem ({(P, i + 1) | P i. (P, i) ∈ s } // gluing))"
    if "s ∈ E" 
  | "φ ρ s (the_elem ({(ρ P, i) | P i. (P, i) ∈ s } // gluing))"
    if "s ∈ E" 
  | "φ (g1 ∘ g2) s s''" 
    if "g1 ∈ G" and "g2 ∈ G" and "s ∈ E" and "φ g1 s s'" and "φ g2 s' s''"

definition Φ where 
  "Φ g s = (if g ∈ G ∧ s ∈ E then (THE s'. φ g s s') else {})"

В качестве примечания можно также использовать инфраструктуру function вместо индуктивного предиката.

...