Отфильтруйте массив, чтобы получить все даты, которые больше той, которую вы хотите, затем отсортируйте ее и получите первую:
var datesArray = ["2019, 10, 4", "2019, 10, 13", "2019, 10, 8", "2019, 10, 6"];
var ownDate = "2019, 10, 05";
var result = datesArray
.filter(e => new Date(e) - new Date(ownDate) > 0)
.sort((a, b) => new Date(a) - new Date(b));
var date = result[0];
console.log(date);