Используйте это:
$('#txtInput').val();
вместо
$('input').val();
Вы используете только селектор ввода на каждой итерации, которая является слишком общей. Вы можете использовать селектор Id из Jquery, чтобы получить элемент ввода и получить из него новое значение. Вот рабочий пример.
<script>
$(function() {
$('#btnLaunch').click(function() {
$('#myModal').modal('show');
});
$('#btnSave').click(function() {
var value = $('#txtInput').val();
$("#myList").append('<li><input type="checkbox" id="'+ value +'"
name="'+ value +'" value="'+ value +'" checked>'+ value +'</li>');
$('#txtInput').val('');
$('#myModal').modal('hide');
});
});
</script>