Вы сохраняете все, что хотите, в методе onsavedinstance и извлекаете данные в onresumesavedinstance или oncreate.
override fun onSaveInstanceState(outState: Bundle) {
val spinner : Spinner
outState.putInt("spinnerselected",spinner.selectedItemPosition)
super.onSaveInstanceState(outState)
}
override fun onRestoreInstanceState(savedInstanceState: Bundle?) {
if (savedInstanceState!= null){
val position = savedInstanceState.getInt("spinnerselected",0)
}
Это всего лишь пример того, как это сделать. У вас должна быть переменная для Spinner, уже готовая, из которой вы можете получить нужные данные, и вы должны получить данные из набора в методе oncreate после того, как вы инициализировали Spinner и установите его в соответствии с полученными вами данными