Класс, который вы используете, предназначен для обработки фактических запросов диапазона. вам нужно указать маршрут, который также использует это:
Route::get('stream', function () {
$video_path = 'my_video_ath';
$tmp = new \App\VideoStream($video_path);
$tmp->start();
})->name('stream');
Тогда HTML будет:
<video controls preload="auto" src="{{ route('stream') }}" width="100%"></video>'