Существует спецификация, которая почти делает то, что вы хотите. Это аналог спецификации захвата медиа и потоков (aka getUserMedia()).
navigator.mediaDevices.getDisplayMedia();
Спецификация называется Screen Capture и, как следует из названия, предназначена для захвата видео ине аудиоЗахват аудио не является обязательным и пока не поддерживается любым браузером, если я правильно помню.
В настоящее время существует открытый вопрос, обсуждающий поддержку только аудио . Может быть, это хорошая идея, чтобы поделиться своим примером использования там.