Метод GET не поддерживается для выхода из системы. Laravel 5.4+ использует метод post для выхода из системы, поэтому вместо простого запроса GET вы должны отправить форму для выхода из системы.
Пример. :
<form id="logout-form" action="{{ url('logout') }}" method="POST">
{{ csrf_field() }}
<button type="submit">Logout</button>
</form>
Изменить код:
@if(Auth::check())
<li><i class="fa fa-user"></i> {{Auth::user()->name}}:</li>
<form id="logout-form" action="{{ url('logout') }}" method="POST">
{{ csrf_field() }}
<button type="submit">Logout</button>
</form>
@else
<li><a href="{{route('login')}}"><i class="fa fa-user"></i>
Login
</a>
</li>
@endif