Стандартный подход для доступа к переменным среды в приложении .NET Core заключается в использовании статического метода
public static string GetEnvironmentVariable (string variable);
Так что в вашем случае, независимо от того, что вы передаете либо в команде запуска docker, либо через запускФайл настроек просто используйте этот метод. В качестве примера для получения пароля базы данных используйте это
string dbPassword = Environment.GetEnvironmentVariable("DATABASE_PASSWORD");
. Кроме того, обязательно определите часть переменных среды файла dockerfile, добавив строку
ENV DATABASE_PASSWORD some_default_value_or_can_be_empty