Попробуйте использовать
$name = $request->get('name');
$now= date('Y-m-d H:i:s');
$userId = Auth::id();
dd($name . $userId); //tady je to ještě OK
DB::table('users')->where('id', $userId)->where('changed_name', '<', date('Y-m-d H:i:s', strtotime('-30 days')))->update(['name' => $name, 'changed_name' => $now]);
OR
DB::table('users')->where('id', $userId)->where('changed_name', '<', date('Y-m-d H:i:s', strtotime('-1 month')))->update(['name' => $name, 'changed_name' => $now]);
return redirect('/profile');
Убедитесь, что эти поля заполняются в модели.