Технически они будут запускать любые сценарии, определенные в вашем package.json с именами dev и watch. Не видя ваши package.json, невозможно точно знать, что они делают.
Для большинства конфигураций проекта эти команды скомпилируют ваши компоненты Vue в необработанный javascript. Разница между run и watch заключается в том, что команда dev скомпилирует код и завершит работу, а команда watch скомпилирует компоненты, затем проследит за файлами и перекомпилирует их при изменении одного из них.