Если вы можете использовать XMLDocument, застрахованный от XDocument, вы можете добиться этого следующим образом.
Ваш XML (я думаю, у вас есть корневой элемент):
<root>
<Payment>
<Id>47398</Id>
<DatePaid>09/01/2019 10:44:08</DatePaid>
</Payment>
<Payment>
<Id>63523</Id>
<DatePaid>09/07/2019 10:04:02</DatePaid>
</Payment>
<Payment>
<Id>94902</Id>
<DatePaid>09/05/2019 10:32:09</DatePaid>
</Payment>
</root>
Код для получения в видевам нужно:
XmlDocument xmlDocument = new XmlDocument();
xmlDocument.LoadXml( myXmlString );
List<string> list = xmlDocument.ChildNodes[ 0 ]
.OfType<XmlNode>()
.OrderBy( payment => DateTime.Parse( payment.ChildNodes[ 1 ].InnerText ) )
.Select( payment => payment.ChildNodes[ 0 ].InnerText )
.ToList();
Обновление Измените код, чтобы он заработал:
List<string> sortedRecordIds = xResults.Descendants("Payment")
.OrderBy( d => DateTime.Parse( d.Element( "DatePaid" ).Value ).Date )
.Select( d => d.Element("Id").Value )
.ToList();