Вы должны хранить где-то, что пользователь воспроизводил вступление, это хранилище должно быть более постоянным, чем просто переменная, поэтому вы должны использовать cookies, localStorage или sessionStorage. SessionStorage соответствует вашим требованиям, потому что он сбрасывает свое состояние, когда окно или вкладка закрыты.
// Hide intro if has been played before
if (sessionStorage.getItem("introPlayed")) {
$('.intro').hide()
} else {
// Intro animation
setTimeout(function() {
$('.intro').addClass("intro_hide");
// Store information that user has played intro
// In sessionStorage data is persisted only until the window or tab is closed
sessionStorage.setItem("introPlayed", true);
}, 3000);
}