Вы должны уведомлять адаптер всякий раз, когда вы вносите изменения в weatherArrayList.
Например,
weatherAdapter.notifyDataSetChanged()
Но в вашем случае, чтобы использовать подобное, вы должны объявить weatherAdapter каксвойство класса.
Надеюсь, это поможет вам.