Мне известны только два способа решения вашей задачи.
Первый способ - использовать возможности Leadgen в Facebook и заставлять пользователей отправлять ответы в Facebook напрямую. Можно экспортировать данные из Facebook Leadgen, если у вашего приложения есть соответствующие разрешения. Также возможно вручную экспортировать данные из этих опросов.
Во-вторых, немного менее удобный для пользователя вариант - это потребовать какой-то аутентификации на вашем сайте опроса. Сделайте так, чтобы пользователи проходили аутентификацию с помощью своей учетной записи Facebook, чтобы получить доступ к опросу.
Другие варианты будут подвержены различным формам мошенничества.