Попробуйте, чтобы ваш код был таким. Это должно заставить элемент span повторяться, а не div, а затем обязательно ссылаться на отдельный тег, а не на массив внутри.
Если у тега есть атрибут name / title, поменяйте местами {{ tag }}
на {{ tag.title}}
глядя на интерфейс просто {{ tag }}
.
<div>
<span *ngFor="let tag of saved.tags" class="badge badge-pill badge-primary">
{{tag}}
</span>
</div>
Ссылка на угловые документы при использовании *ngFor
для отображения данных.