from datetime import datetime
check_date = request.GET.get('start_date')
check_date = datetime.strptime(check_date,'format')
проблема в верхней строке, потому что вы получаете строку, но в ORM вам нужно передать объект datetime для сравнения дат. Поэтому сначала преобразуйте его в формат, который вы используете в БД, а затем
qs = Test.objects.values('opinion').annotate(
count=Count('opinion'),
dcount=Count('opin_id',
distinct=True)).filter(start_date__gte=check_date).order_by("count")