Это невозможно. И это даже далеко не хорошая идея.
Контроллеры Rails принимают свои входные данные в форме запроса и env, которые включают в себя такие вещи, как настройки сервера и все, что промежуточное программное обеспечение упаковало в качестве аргументов инициализатора. Они не являются глобальными, как, например, в PHP.
Действия самого контроллера фактически не принимают никаких аргументов. Поэтому даже если бы вы могли объявить свои действия как методы класса, у вас не было бы абсолютно никакого контекста. И на самом деле это чертовски неважно, поскольку вам придется заменить весь уровень маршрутизатора, чтобы он даже вызывался.
В Ruby даже нет реальных классов-синглтонов. Если вам нужен объект, который не может быть создан, используйте модуль (и нет, вы не можете сделать модуль контроллером в рельсах).