Здравствуйте, сэр, вы можете использовать https://github.com/dilame/instagram-private-api, чтобы отправить дм вашему пользователю. Он находится в nodejs
Idk на том языке, на котором вы попытаетесь это сделать, в приведенной мною ссылке это сделано в узле, хотя вы можете прочитать его, чтобы понять пример того, что вы пытаетесь сделать.