Усеченное распределение Пуассона на желаемой поддержке в Matlab

Question

Я хочу построить трехмерное распределение Пуассона в Matlab с параметрами лямбды [0.4, 0.2, 0.6], и я хочу обрезать его, чтобы иметь поддержку в [0;1;2;3;4;5]. 3 компонента являются независимыми.

Это то, что я делаю

clear
n=3; %number components of the distribution 

supp_marginal=0:1:5;
suppsize_marginal=size(supp_marginal,2); 

supp_temp=repmat(supp_marginal.',1,n); 
supp_temp_cell=num2cell(supp_temp,1); 
output_temp_cell=cell(1,n);
[output_temp_cell{:}] = ndgrid(supp_temp_cell{:});
supp=zeros(suppsize_marginal^n,n);

for h=1:n
    temp=output_temp_cell{h};
    supp(:,h)=temp(:);  
end
suppsize=size(supp,1); 

lambda_1=0.4;
lambda_2=0.2;
lambda_3=0.6;

pr_mass=zeros(suppsize,1);
for j=1:suppsize
    pr_mass(j)=(poisspdf(supp(j,1),lambda_1).*...
                poisspdf(supp(j,2),lambda_2).*...
                poisspdf(supp(j,3),lambda_3))/...
                sum(poisspdf(supp(:,1),lambda_1).*...
                    poisspdf(supp(:,2),lambda_2).*...
                    poisspdf(supp(j,3),lambda_3));
end 

Когда я вычисляю среднее значение полученного распределения, я получаю lambda_1 и lambda_2, но не lambda_3.

lambda_empirical=sum(supp.*repmat(pr_mass,1,3)); 

Вопрос: почему я не получаю lambda_3?

Answer 1

tl; dr: Усечение изменяет распределение, поэтому ожидаются другие значения.

---

Это ожидается, поскольку усечение само изменило распределение и, конечно, корректирует среднее. Вы можете увидеть это из эксперимента ниже. Обратите внимание, что для выбранных вами параметров это начинает становиться заметным в районе лямбда = 0,6.

Подобно вики-странице , это иллюстрирует разницу между E [ X ] (ожидание X без усечения; причудливое слово для среднего) и E [ X | LB <= <em>X <= <em>UB ] (ожидание X , учитывая, что оно находится на интервале [ LB , UB )]. Это условное ожидание подразумевает распределение, отличное от безусловного распределения X (~ Пуассон ( lambda )).

% MATLAB R2018b
% Setup
LB = 0;   % lowerbound 
UB = 5;   % upperbound

% Simple test to compare theoretical means with and without truncation
TestLam = 0.2:0.01:1.5;
Gap = zeros(size(TestLam(:)));
for jj = 1:length(TestLam)
    TrueMean = mean(makedist('Poisson','Lambda',TestLam(jj)));
    TruncatedMean = mean(truncate(makedist('Poisson','Lambda',TestLam(jj)),LB,UB));
    Gap(jj) = TrueMean-TruncatedMean;
end

plot(TestLam,Gap)

Обратите внимание, что разрыв с этими границами усечения и лямбда 0,6 по-прежнему мал и незначителен, когда лямбда приближается к нулю.

lam = 0.6;    %  <---- try different values   (must be greater than 0)
pd = makedist('Poisson','Lambda',lam)
pdt = truncate(pd,LB,UB)
mean(pd)                         % 0.6
mean(pdt)                        % 0.5998

---

Другие ресурсы:
1. Вики для Усеченные распределения
2. Что такое усеченное распределение
3Документация MATLAB для truncate, makedist
4. MATLAB: Работа с распределением вероятностей (объекты)