Вам необходимо инициализировать свойство RegionManager перед его использованием.
Пример для вашего кода:
protected override void InitializeShell()
{
base.InitializeShell();
App.Current.MainWindow = (Window)this.Shell;
App.Current.MainWindow.Show();
RegionManager = Prism.Regions.RegionManager.GetRegionManager(Application.Current.MainWindow);
this.RegionManager.RequestNavigate("MainRegion", new Uri("PartNumberView", UriKind.Relative));
}