Согласно документам заголовки должны быть массивом объектов
chrome.downloads.download({
url: 'http://test/api/file/download',
filename: "file_from_web_api.exe",
headers: [
{'ProfileID': '1'}
]
});
, вы также можете сначала попытаться создать объект заголовка, а затем добавить его в массив смотрите здесь
РЕДАКТИРОВАТЬ: попробуйте с объектом заголовка
chrome.downloads.download({
url: 'http://test/api/file/download',
filename: "file_from_web_api.exe",
headers: new Headers({
'ProfileID': '1'
})
});