Мудрец не признает идеал единицы

Question

Я пытаюсь выучить немного мудреца, и я пытался играть с идеалами в p-adic кольцах. Но я не понимаю, как идеалы работают в полиномиальных кольцах. Я попытался написать следующее

A=Zp(5)
R.<x>=A[]
g1=(1+x)^(25)-1;
g2=6^(-25)*((1+x)^(25)-6^(25));
J=R.ideal(37,g1)
I=R.ideal(37,g2)
U=R.unit_ideal();
I==U
I==J
J==U

Поскольку 37 - это 5-адическая единица, я бы ожидал, что ответ будет

True
True
True

, потому что и I, и J содержат 37. Но этоэто

False
False
False

Что мне не хватает? Я также извиняюсь за то, что не смог понять, как использовать TeX в stackoverflow.

Answer 1

Ну, по-видимому, Мудрец не проверяет это автоматически.

print(U)
print(I)
print(J)
Principal ideal (1 + O(5^20)) of Univariate Polynomial Ring in x over 5-adic Ring with capped relative precision 20
Ideal (2 + 2*5 + 5^2 + O(5^20), (1 + 4*5^3 + 2*5^4 + 4*5^7 + 2*5^8 + 3*5^9 + 3*5^10 + 3*5^12 + 5^13 + 4*5^15 + 4*5^16 + 2*5^17 + 5^18 + 5^19 + O(5^20))*x^25 + (5^2 + 4*5^5 + 2*5^6 + 4*5^9 + 2*5^10 + 3*5^11 + 3*5^12 + 3*5^14 + 5^15 + 4*5^17 + 4*5^18 + 2*5^19 + O(5^20))*x^24 + (2*5^2 + 2*5^3 + 3*5^5 + 3*5^6 + 5^7 + 5^8 + 3*5^9 + 3*5^10 + 2*5^11 + 4*5^12 + 3*5^13 + 2*5^14 + 4*5^15 + 3*5^16 + 3*5^17 + 2*5^18 + O(5^20))*x^23 + (2*5^2 + 3*5^3 + 3*5^4 + 3*5^5 + 2*5^6 + 5^7 + 3*5^10 + 2*5^11 + 5^12 + 3*5^13 + 4*5^14 + 4*5^15 + 4*5^16 + 3*5^17 + 2*5^18 + 2*5^19 + O(5^20))*x^22 + (5^2 + 5^3 + 3*5^5 + 2*5^6 + 3*5^7 + 5^8 + 4*5^10 + 5^11 + 3*5^12 + 3*5^14 + 4*5^15 + 4*5^16 + 5^17 + 4*5^19 + O(5^20))*x^21 + (5 + 4*5^4 + 4*5^5 + 3*5^6 + 2*5^8 + 3*5^10 + 4*5^12 + 2*5^14 + 3*5^15 + 5^16 + 3*5^17 + 2*5^19 + O(5^20))*x^20 + (4*5^2 + 5^3 + 3*5^4 + 2*5^5 + 5^6 + 4*5^7 + 3*5^8 + 4*5^9 + 5^10 + 2*5^12 + 4*5^13 + 3*5^14 + 4*5^15 + 3*5^16 + 2*5^17 + 2*5^19 + O(5^20))*x^19 + (3*5^2 + 4*5^4 + 4*5^6 + 3*5^7 + 4*5^8 + 2*5^9 + 4*5^10 + 3*5^11 + 2*5^12 + 4*5^14 + 2*5^16 + O(5^20))*x^18 + (3*5^2 + 2*5^3 + 3*5^5 + 5^7 + 3*5^8 + 5^9 + 3*5^14 + 5^16 + 2*5^17 + 5^18 + 5^19 + O(5^20))*x^17 + (4*5^2 + 3*5^3 + 3*5^4 + 4*5^5 + 3*5^6 + 3*5^7 + 2*5^8 + 2*5^9 + 4*5^10 + 2*5^11 + 5^13 + 5^14 + 2*5^15 + 3*5^17 + 5^18 + 5^19 + O(5^20))*x^16 + (2*5 + 3*5^4 + 5^5 + 2*5^7 + 5^9 + 3*5^10 + 4*5^11 + 3*5^12 + 4*5^13 + 2*5^14 + 3*5^15 + 4*5^16 + 2*5^17 + 4*5^19 + O(5^20))*x^15 + (5^2 + 4*5^3 + 5^4 + 4*5^6 + 2*5^7 + 3*5^10 + 3*5^11 + 5^12 + 3*5^13 + 2*5^14 + 3*5^15 + 3*5^16 + 5^17 + 5^19 + O(5^20))*x^14 + (2*5^2 + 2*5^3 + 2*5^5 + 5^6 + 3*5^7 + 5^10 + 4*5^11 + 2*5^12 + 3*5^14 + 5^15 + 4*5^16 + 2*5^17 + 4*5^18 + 2*5^19 + O(5^20))*x^13 + (2*5^2 + 2*5^3 + 2*5^5 + 5^6 + 3*5^7 + 5^10 + 4*5^11 + 2*5^12 + 3*5^14 + 5^15 + 4*5^16 + 2*5^17 + 4*5^18 + 2*5^19 + O(5^20))*x^12 + (5^2 + 4*5^3 + 5^4 + 4*5^6 + 2*5^7 + 3*5^10 + 3*5^11 + 5^12 + 3*5^13 + 2*5^14 + 3*5^15 + 3*5^16 + 5^17 + 5^19 + O(5^20))*x^11 + (2*5 + 3*5^4 + 5^5 + 2*5^7 + 5^9 + 3*5^10 + 4*5^11 + 3*5^12 + 4*5^13 + 2*5^14 + 3*5^15 + 4*5^16 + 2*5^17 + 4*5^19 + O(5^20))*x^10 + (4*5^2 + 3*5^3 + 3*5^4 + 4*5^5 + 3*5^6 + 3*5^7 + 2*5^8 + 2*5^9 + 4*5^10 + 2*5^11 + 5^13 + 5^14 + 2*5^15 + 3*5^17 + 5^18 + 5^19 + O(5^20))*x^9 + (3*5^2 + 2*5^3 + 3*5^5 + 5^7 + 3*5^8 + 5^9 + 3*5^14 + 5^16 + 2*5^17 + 5^18 + 5^19 + O(5^20))*x^8 + (3*5^2 + 4*5^4 + 4*5^6 + 3*5^7 + 4*5^8 + 2*5^9 + 4*5^10 + 3*5^11 + 2*5^12 + 4*5^14 + 2*5^16 + O(5^20))*x^7 + (4*5^2 + 5^3 + 3*5^4 + 2*5^5 + 5^6 + 4*5^7 + 3*5^8 + 4*5^9 + 5^10 + 2*5^12 + 4*5^13 + 3*5^14 + 4*5^15 + 3*5^16 + 2*5^17 + 2*5^19 + O(5^20))*x^6 + (5 + 4*5^4 + 4*5^5 + 3*5^6 + 2*5^8 + 3*5^10 + 4*5^12 + 2*5^14 + 3*5^15 + 5^16 + 3*5^17 + 2*5^19 + O(5^20))*x^5 + (5^2 + 5^3 + 3*5^5 + 2*5^6 + 3*5^7 + 5^8 + 4*5^10 + 5^11 + 3*5^12 + 3*5^14 + 4*5^15 + 4*5^16 + 5^17 + 4*5^19 + O(5^20))*x^4 + (2*5^2 + 3*5^3 + 3*5^4 + 3*5^5 + 2*5^6 + 5^7 + 3*5^10 + 2*5^11 + 5^12 + 3*5^13 + 4*5^14 + 4*5^15 + 4*5^16 + 3*5^17 + 2*5^18 + 2*5^19 + O(5^20))*x^3 + (2*5^2 + 2*5^3 + 3*5^5 + 3*5^6 + 5^7 + 5^8 + 3*5^9 + 3*5^10 + 2*5^11 + 4*5^12 + 3*5^13 + 2*5^14 + 4*5^15 + 3*5^16 + 3*5^17 + 2*5^18 + O(5^20))*x^2 + (5^2 + 4*5^5 + 2*5^6 + 4*5^9 + 2*5^10 + 3*5^11 + 3*5^12 + 3*5^14 + 5^15 + 4*5^17 + 4*5^18 + 2*5^19 + O(5^20))*x + 4*5^3 + 2*5^4 + 4*5^7 + 2*5^8 + 3*5^9 + 3*5^10 + 3*5^12 + 5^13 + 4*5^15 + 4*5^16 + 2*5^17 + 5^18 + 5^19 + O(5^20)) of Univariate Polynomial Ring in x over 5-adic Ring with capped relative precision 20
Ideal (2 + 2*5 + 5^2 + O(5^20), (1 + O(5^20))*x^25 + (5^2 + O(5^20))*x^24 + (2*5^2 + 2*5^3 + O(5^20))*x^23 + (2*5^2 + 3*5^3 + 3*5^4 + O(5^20))*x^22 + (5^2 + 5^3 + 4*5^5 + O(5^20))*x^21 + (5 + 2*5^5 + 3*5^6 + O(5^20))*x^20 + (4*5^2 + 5^3 + 3*5^4 + 5^5 + 5^6 + 2*5^7 + O(5^20))*x^19 + (3*5^2 + 4*5^4 + 3*5^5 + 5^7 + 5^8 + O(5^20))*x^18 + (3*5^2 + 2*5^3 + 5^5 + 4*5^6 + 3*5^7 + 2*5^8 + O(5^20))*x^17 + (4*5^2 + 3*5^3 + 3*5^4 + 3*5^5 + 5^7 + 5^9 + O(5^20))*x^16 + (2*5 + 5^5 + 4*5^6 + 5^7 + 3*5^8 + 5^9 + O(5^20))*x^15 + (5^2 + 4*5^3 + 5^4 + 5^5 + 2*5^7 + 5^8 + 2*5^9 + O(5^20))*x^14 + (2*5^2 + 2*5^3 + 4*5^5 + 2*5^6 + 5^7 + 3*5^8 + 2*5^9 + O(5^20))*x^13 + (2*5^2 + 2*5^3 + 4*5^5 + 2*5^6 + 5^7 + 3*5^8 + 2*5^9 + O(5^20))*x^12 + (5^2 + 4*5^3 + 5^4 + 5^5 + 2*5^7 + 5^8 + 2*5^9 + O(5^20))*x^11 + (2*5 + 5^5 + 4*5^6 + 5^7 + 3*5^8 + 5^9 + O(5^20))*x^10 + (4*5^2 + 3*5^3 + 3*5^4 + 3*5^5 + 5^7 + 5^9 + O(5^20))*x^9 + (3*5^2 + 2*5^3 + 5^5 + 4*5^6 + 3*5^7 + 2*5^8 + O(5^20))*x^8 + (3*5^2 + 4*5^4 + 3*5^5 + 5^7 + 5^8 + O(5^20))*x^7 + (4*5^2 + 5^3 + 3*5^4 + 5^5 + 5^6 + 2*5^7 + O(5^20))*x^6 + (5 + 2*5^5 + 3*5^6 + O(5^20))*x^5 + (5^2 + 5^3 + 4*5^5 + O(5^20))*x^4 + (2*5^2 + 3*5^3 + 3*5^4 + O(5^20))*x^3 + (2*5^2 + 2*5^3 + O(5^20))*x^2 + (5^2 + O(5^20))*x + O(5^20)) of Univariate Polynomial Ring in x over 5-adic Ring with capped relative precision 20

Возможно, больше неприятностей,

U>=I
False

Однако я не эксперт в реализации этих колец,Однако Мудрец дает

R(37).is_unit()
True

С другой стороны,

K = R.ideal(A(37))
K==U

дает True, а

L = R.ideal(1,g1)
L == U

дает False.

Я чувствую, что здесь должно быть что-то очевидное, чего мне не хватает, но если это так, то, возможно, документация требует некоторой работы, поэтому я открыл Trac 28692 . Если мы не в базе, я уверен, что мы услышим - вы также можете спросить на ask.sagemath , где тусуется гораздо больше разработчиков.