Для доступа к дню первого элемента:
console.log(this.props.list[0].day);
Но учтите, что, как я уже сказал, он получит доступ к первому объекту в массиве. Если вы хотите учесть все остальные элементы, вы можете сохранить их в другом массиве. Как то так:
let list=[{ id:1, title:'aaa', day:'mon'}, { id:2, title:'bbb', day:'mon'}]
// store all 'days' inside an array
let days = []
list.forEach(ele => {
days.push(ele.day)
})
console.log(days) // [ "mon", "mon" ]