Нет, сайт не работает нормально. Изменение DNS будет распространяться, но до тех пор, пока вы не изменили другие вещи, касающиеся вашего сайта, люди все равно должны будут перенаправляться на ваш источник с вашего старого DNS.
Ошибка 523 указывает на проблему с вашим источником. Я бы предложил связаться с cloudflare. На самом деле возможно, что проблема заключается в PLUGIN, так как стандартное поведение cloudflare обычно подходит для статического сайта WordPress.