После клонирования репо на вашем локальном компьютере вам нужно добавить новый пульт:
git remote add [remote_name] [link_to_new_bitbucket_server_repo]
Затем просто добавьте все необходимые ветки на этот пульт:
git push [remote_name] [branch_name]
Если выуже есть что-то в новом репо, тогда вам нужно сделать все, что @ eftshift0 скажет в своем ответе. Если вы не знаете, как это сделать, и не знаете, какие команды использовать для этого, напишите, я постараюсь помочь.