Я думаю, что вы можете снова автоматически сфокусироваться на вводе пароля, используя опору "ref".
Добавьте опорную ссылку в ваш TextInput:
<View style={styles.container}>
<TextInput
ref={c => {this.passwordTextInput= c}} //add Reference Prop
style={styles.textInput}
value={text}
onChangeText={text => this.setState({ text })}
secureTextEntry={secureTextEntry}
underlineColorAndroid="transparent"
/>
и затем вызовите
this.passwordTextInput.focus();
в функциях this.hide () и this.show () после обновления состояния.