Очевидно, проблема в том, что вы передаете String в качестве первого параметра, реализация метода ожидает объект типа GoogleMap. Поэтому проверьте метод вызова и убедитесь, что параметры находятся в правильном порядке.
Кроме того, вам необходимо обеспечить безопасность своего типа кода. Я бы определил POJO и вместо этого передал бы его как параметр.
class MyData {
String url;
GoogleMap map;
//define getters and setters
.....
}
public class GetNearByPlaces extends AsyncTask<MyData,String,String>
{
private String GooglePlaceData, url;
GoogleMap mMap;
@Override
protected String doInBackground(MyData... data) {
mMap = data[0].getMap();
url = data[0].getUrl();
DownloadUrl downloadUrl = new DownloadUrl();
......
}