Нет никакого способа сделать это, в общем случае исключение останавливает все дальнейшее выполнение скрипта.
Но помните, что исключения должны быть исключительными и указывать на что-то, что неожиданно пошло не так. Если вы ожидаете появления определенных ошибок, они больше не являются исключениями и должны быть исправлены (иногда это требует try-catch, если у вас мало контроля над той частью, которая выдает исключение). Завершение всего в блок try-catch - это признак того, что в вашей базе кода есть что-то очень хрупкое.
Если исключения, которые вы получаете, в основном вызваны возвратами API, рассмотрите возможность добавления .catch()
к своим обещаниям получения и корректной обработки неудавшегося API.