Сначала переместите все так, чтобы два нормальных распределения (X и Z) были центрированы на нуле; теперь совместная передача будет горкой с центром в начале координат.
Теперь масштабируйте одну из осей так, чтобы два распределения имели одинаковую дисперсию (или «ширину»). Теперь совместная вероятность должна быть вращательно-симметричной горкой.
Теперь все, что имеет значение, это насколько близко линия подходит к началу координат. Поворачивайте вокруг начала координат (это оставит общую вероятность без изменений), пока линия не будет параллельна одной из осей, скажем Z. Теперь вы спрашиваете вероятность того, что случайная точка будет иметь X больше или меньше значения X линии. Это определяется одной из масштабированных функций распределения (они одинаковы) и может быть рассчитано с помощью функции ошибки.
Я могу написать математику, если это будет полезно.
РЕДАКТИРОВАТЬ: я постараюсь выписать последний шаг. Извините за грубую аську, у меня нет доступа к хорошей математической табличке.
Предположим, мы масштабировали и центрировали распределения так, чтобы sigmaX = sigmaZ = 1, и повернули все:
joint probability: P(x, z) = 1/(2 pi) exp(-(x^2 + z^2)/2)
line: x = c
Теперь, чтобы найти вероятность того, что случайная точка окажется на узкой «вертикальной» полосе между некоторыми x и x + dx:
P(x)dx = Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz P(x, z)}
= 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2) 1/sqrt(2 pi) Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz exp(-z^2/2)}
= 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)
Но это то же самое, что (любой) одно из двух нормальных распределений. Таким образом, вероятность того, что случайная точка будет, скажем, слева от линии, равна
P(c>x) = Int[-Inf, c]{dx 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)}
= 1/2 (1 - Erf(c/sqrt(2)))