Я реализовал ваш сценарий, используя комбинацию response-native-config и response-native-appstore-version-checker.
Установленная версия приложения, которую я использовал response-native-config для создания переменной версии приложения что я получаю с помощью: Config.REACT_APP_VERSION
Для версии магазина приложений я использовал модульact-native-appstore-version-checker. Инструкции по установке работали отлично.
Для моего варианта использования я хотел сделать что-то другое, если обновление было основным или второстепенным, поэтому я разделил две версии приложения и провел сравнение основных / второстепенных / сборок.