Класс NotifyIcon создает значок в системном трее. Как указывает эта страница, вы можете создать ContextMenu, которое будет отображаться, когда пользователь щелкает правой кнопкой мыши.
NotifyIcon включает свойства «BalloonTip», которые можно использовать для отображения сообщений, на которые вы ссылаетесь. Этот пример взят из документации MSDN.
notifyIcon1.Icon = Icon.ExtractAssociatedIcon(Application.ExecutablePath);
notifyIcon1.Visible = true;
notifyIcon1.BalloonTipIcon = ToolTipIcon.Error;
notifyIcon1.BalloonTipTitle = "Delayed Write Failed";
notifyIcon1.BalloonTipText = "Some of your data has been lost.";
notifyIcon1.ShowBalloonTip(0);
Как говорит @Kobi, вы также хотите установить для свойства формы ShowInTaskbar значение false.