Оценка параметров подбрасываемой монеты 10 раз

Question

Монета подбрасывается 10 раз с результатами: HTTHHTHHH T. Какова максимальная вероятность вероятности ее смещения? Если вы хотите сделать байесовскую оценку своего параметра, как эта оценка меняется с каждым броском, начиная с предшествующей бета-версии (1,1)?

Answer 1

Я не собираюсь решать вашу домашнюю работу за вас, но вот несколько моментов, с которых можно начать. Вы не указываете язык кодирования (переполнение стека относится к кодированию -specifi c вопросов), поэтому я использую здесь R.

Бросание монеты - это биномиальный процесс, с двумя исходами (головы "H" и хвосты "T") и одним параметром theta = p в качестве вероятности того, что монета подойдет с "H".

Данные выборки состоят из 10 бросков монеты

x <- unlist(strsplit("H T T H H T H H H T", " "))

1. Прямое (и хорошее упражнение) вычисление оценки MLE для параметра p вручную. Вы обнаружите, что MLE для p просто (number of "H"s) / (total number of coin tosses). В вашем случае это дает

   mle_est_binom <- function(x) sum(x == "H") / length(x)
   mle_est_binom(x)
   #[1] 0.6
   

2. Мы также можем использовать функцию базового R optim, чтобы оптимизировать функцию биномиального правдоподобия как функцию p, учитывая наблюдаемые данные. Поскольку optim по умолчанию выполняет минимизацию, максимизация функции положительного правдоподобия приводит к минимизации отрицательной функции правдоподобия.

   lik <- function(p) -dbinom(sum(x == "H"), length(x), p)
   mle_est <- optim(0.5, lik, method = "L-BFGS-B", lower = 0, upper = 1)
   mle_est$par
   #[1] 0.5999997
   

   Оценка ML на основе optim для p согласна очень хорошо с предыдущим «точным» значением MLE.

   Здесь мы максимизируем (линейную) функцию правдоподобия. Часто выгодно максимизировать логарифмированную функцию правдоподобия (подумайте о , почему было бы так). dbinom напрямую возвращает преобразованную логарифмическую вероятность, если вы используете аргумент функции log = TRUE. Переписывание шага оптимизации с использованием логарифмической вероятности является хорошей проверкой и помогает обдумать, как работает optim.

3. Я оставлю вас с байесовской оценкой. Вы можете найти множество учебных пособий в Интернете о том, как это сделать в R. Лично я рекомендую использовать rstan.

---

PS. Существует интересная статья , написанная Эндрю Гельманом и Деборой Нолан: Вы можете загрузить D ie, но вы не можете сместить монету , которая развивает тему предвзятости монеты. Это хорошая и забавная статья, показывающая, что

невозможно сместить монетку, то есть нельзя, например, взвесить монету, чтобы она с большей вероятностью приземлилась «головами». », Чем« хвосты », когда они перевернуты и пойманы в руку обычным способом.