Проблема не в преобразовании ответа json, а в отправке запроса. Вы не можете отправить объект в теле, вы должны отправить строку JSON или, в вашем случае, создать объект formdata:
const formData = new FormData();
formData.append('locationkey', 'IL');
formData.append('apiKey', 'apiKey');
и передать его как тело:
const request = await fetch(
'https://accuweatherstefan-skliarovv1.p.rapidapi.com/searchByLocationKey',
{
'method': 'post',
'headers': {
'x-rapidapi-host': 'AccuWeatherstefan-skliarovV1.p.rapidapi.com',
'x-rapidapi-key': '...',
'content-type': 'application/x-www-form-urlencoded'
},
'body': formData
}
);