Краткий ответ - да. Вы должны купить его, если кто-то еще, что вы сможете получить доступ к вашему серверу по этому адресу. DNS (система доменных имен) - это то, что переводит имя (например, «www.google.com») в IP-адрес, к которому подключается ваш компьютер.
Я бы порекомендовал попытаться найти регистратора доменных имен для вашего домена (их несколько на один домен верхнего уровня, например .com, .org, .no, .in, et c) и прочитать немного о том, как это работает.
Примеры регистраторов: https://godaddy.com, https://domains.google и несколько тысяч других.